Προσομοίωση εξετάσεων Α' Λυκείου (Άλγεβρα και Γεωμετρία)

Στους παρακάτω συνδέσμους θα βρείτε τελικά διαγωνίσματα Άλγεβρας και Γεωμετρίας Α' Λυκείου.

• Άλγεβρα 2019
• Γεωμετρία 2019

στο διαγώνισμα της Άλγεβρας δεν έχω συμπληρώσει τα σωστό-λάθος και 

στη Γεωμετρία έχω επιλέξει δύο θέματα από την τράπεζα θεμάτων

Προσομοίωση Εξετάσεων Γυμνασίου 2019 (Μαθηματικά)

Στους παρακάτω συνδέσμους θα βρείτε τελικά διαγωνίσματα μαθηματικών για όλες τις τάξεις του Γυμνασίου.

• Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

• Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

• Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα (απόδειξη με απλό πείραμα)

"Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του" .

Θυμάστε όλοι σας ότι αυτή η λεκτική αποτύπωση του πυθαγορείου θεωρήματος δεν ήταν και τόσο κατανοητή από αρκετούς μαθητές. Δηλαδή, αυτοί οι μαθητές δεν κατανοούσαν ότι η λεκτική αποτύπωση του παραπάνω θεωρήματος σημαίνει ότι: Αν φτιάξουμε ένα τετράγωνο με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε το εμβανδόν αυτού του τετραγώνου θα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβανδών των δύο τετραγώνων που το καθένα έχει πλευρά τις δύο κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου.

GIFs που εξηγούν βασικές μαθηματικές έννοιες

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Η υπόθεση του Riemann

Το μεγαλύτερο άλυτο πρόβλημα μαθηματικών

Η υπόθεση του Riemann
Το 1859, ο Μπέρνχαρτ Ρίμαν παρουσίασε την υπόθεση, που είναι η μόνη που απομένει αναπόδεικτη από τον κατάλογο του Χίλμπερτ. Η υπόθεση αφορά την αλληλουχία των πρώτων αριθμών μεταξύ των θετικών ακέραιων. Πρώτος είναι κάθε θετικός αριθμός, εκτός του 1, ο οποίος δεν διαρείται παρά μόνο από τον εαυτό του και το 1. Οι πρώτοι δέκα πρώτοι αριθμοί είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά η συχνότητά τους μειώνεται όσο επεκτείνεται η σειρά θετικών ακεραίων προς το άπειρο. Από τους οκτώ αρχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι μισοί είναι πρώτοι, αλλά από τους αρχικούς εκατό, μόλις το ένα τέταρτο είναι πρώτοι, ενώ από τους αρχικούς ένα εκατομμύριο θετικούς ακέραιους, μόλις ο ένας στους δέκα τρεις είναι πρώτος.

Πώς οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι η επιστήμη τους είναι «αναπόδεικτη» και δεν στηρίζεται στη λογική

Ως γνωστόν, τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που προσπαθεί να αποδείξει τα πάντα μέσα από την λογική. Η λογική όμως ξεκινά από κοινά αποδεκτές «αλήθειες», κάτι που έρχεται αντίθετο με την ίδια την φύση των μαθηματικών.

Η αναζήτηση της απόλυτης λογικής αλήθειας – Πως οι μαθηματικοί προσπάθησαν να απεμπλακούν από τα αξιώματα
Ενας «πραγματιστής» μαθηματικός θα μπορούσε εύκολα να δεχτεί το γεγονός ότι η επιστήμη του ξεκινά από βασικές αρχές, χτισμένες από την κοινή λογική και όχι αποδεδειγμένες επιστημονικά. Αρχές από τις οποίες «γεννιέται» κάθε τι άλλο που συμπεριλαμβάνεται σε μια μαθηματική θεωρία. Είναι όμως δυνατόν τα μαθηματικά, η επιστήμη της απόδειξης και της λογικής, να στηρίζονται σε κάτι το αναπόδεικτο;

Η πιο αγνή των τεχνών ή ..Μαθηματικά

Απόσπασμα από το άρθρο του Paul Lockhart, με τίτλο «A Mathematician’s Lament¹» 
Επιμέλεια – Παρουσίαση - Μετάφραση θέματος : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου 
 

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κατανοήσουμε είναι ότι τα μαθηματικά είναι μια τέχνη. Η διαφορά μεταξύ των μαθηματικών και των άλλων τεχνών, όπως η μουσική και η ζωγραφική, είναι ότι ο πολιτισμός μας δεν τα αναγνωρίζει ως τέτοια. Ο καθένας καταλαβαίνει ότι οι ποιητές, οι ζωγράφοι, οι μουσικοί και οι δημιουργοί έργων τέχνης είναι οι ίδιοι που αναφέρονται στη λέξη, εικόνα και ήχος.

Στην πραγματικότητα, η κοινωνία μας είναι αρκετά γενναιόδωρη όταν πρόκειται για δημιουργική έκφραση : όπως  αρχιτέκτονες , σεφ, ακόμη και διευθυντές τηλεοπτικών καναλιών, όπου θεωρείται ότι εργάζονται ως καλλιτέχνες . Γιατί λοιπόν να μην είναι και οι Μαθηματικοί ;

O Θαλής και η πυραμίδα του Χέοπα

Ο Θαλής ο Μιλήσιος γεννήθηκε στη Μίλητο της Μ. Ασίας περίπου το 624 π.Χ.. Ήταν ο πρώτος απ’ τους επτά σοφούς της αρχαιότητας, ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος και, ίσως, ο πρώτος μαθηματικός, αφού εισήγαγε την απόδειξη στη Γεωμετρία. Θεωρείται ότι διδάχθηκε Γεωμετρία στον τόπο γέννησής της, δηλαδή στην Αίγυπτο.

Ποια ανάγκη, όμως, είχε ωθήσει τους Αιγύπτιους στη δημιουργία των πρώτων γεωμετρικών εννοιών; Η απάντηση πρέπει να αναζητηθεί σ’ ένα πρόβλημα πρακτικής φύσης. Οι Αιγύπτιοι κάθε φορά που πλημμύριζε ο Νείλος, έπρεπε να αποκαταστήσουν τα σύνορα των ιδιοκτησιών τους. Αυτό τους οδήγησε στο να ανακαλύψουν ένα σύνολο εμπειρικών κανόνων με πρακτικές εφαρμογές, κυρίως, σε μετρήσεις επί του εδάφους:

«γη» + «μέτρηση» = «γεωμετρία»

Comic Γεωμετρίας

κατέβασμα του αρχείου εδώ

Ιάνης Ξενάκης: Τέχνη και Επανάσταση

Μια ενδιαφέρουσα συνέντευξη με τον Ιάνη Ξενάκη που δόθηκε το Σεπτέμβρη του 1978, όταν είχε έλθει στις Μυκήνες και παρουσίασε το "Πολύτοπο των Μυκηνών".

Με μια δίωρη μη θρησκευτική νεκρώσιμη τελετή - συναυλία την Πέμπτη 8 Φεβρουαρίου στο Παρίσι, ο Ιάνης Ξενάκης απογειώθηκε στα ηχητικά σύμπαντα. Γεννήθηκε στη Βραϊλα της Ρουμανίας από έλληνες γονείς το 1922 και πέθανε την Κυριακή 4 Φεβρουαρίου του 2001 στο Παρίσι. Στον 20ο αιώνα και στην αυγή του 21ου, υπήρξε το παράδειγμα του καθολικού ανθρώπου, του αναγεννησιακού ανθρώπου. Πρωτοπόρος της ηλεκτρονικής μουσικής, μαθηματικός, φιλόσοφος, αρχιτέκτονας. Σπούδασε μηχανικός στο Ε. Μ. Πολυτεχνείο. Τον καιρό της Κατοχής και του Εμφυλίου υπήρξε μαχητής του αντάρτικου. Το Δεκέμβρη του 1944, φοιτητής του Πολυτεχνείου, και μέλος του σπουδαστικού Λόχου Λόρδος Μπάιρον, με εντολή του ΕΛΑΣ, φρουρούσε το Πολυτεχνείο. Βρετανικό τανκ γκρέμισε την πύλη του Πολυτεχνείου - η χούντα αργότερα απλώς μιμήθηκε - τους βρετανούς χασάπηδες - και χτύπησε με ρουκέτες τους φοιτητές. Ο Γιάννης Ξενάκης έχασε το μισό του πρόσωπο και το ένα του μάτι. Το 1947 έφυγε κρυφά από την Ελλάδα για να αποφύγει τη σύλληψη. Το εμφυλιοπολεμικό στρατοδικείο τον καταδίκασε σε θάνατο με την κατηγορία της ανυποταξίας. Ως την πτώση της χούντας δεν επιτρεπόταν να ταξιδέψει στην Ελλάδα.

Η παρακάτω, συνέντευξη δόθηκε το Σεπτέμβρη του 1978, όταν είχε έλθει στις Μυκήνες και παρουσίασε το "Πολύτοπο των Μυκηνών".

ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (1873-1950)

Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής είναι ίσως ο κορυφαίος σύγχρονος Έλληνας μαθηματικός που διακρίθηκε σε παγκόσμιο επίπεδο. Γεννήθηκε στο Βερολίνο στις 13 Σεπτεμβρίου 1873 όπου ο πατέρας του ήταν πρεσβευτής της Τουρκίας. Ο Καραθεοδωρής ήταν γνωστός εκτός Ελλάδας ως Constantin Carathéodory. Πατέρας του ήταν ο Στέφανος Καραθεοδωρής και μητέρα του η Δέσποινα Πετροκόκκινου που η καταγωγή της ήταν από την Χίο. Γενέτειρα της οικογένειας Καραθεοδωρή ήταν το παλιό Μποσνοχώρι της Ανδριανούπολης της Ανατολικής Θράκης, του οποίου ζωντανή συνέχεια αποτελεί η Ν. Βύσσα.

Σε ηλικία 6 ετών χάνει την μητέρα του και την ανατροφή του και της 8χρονης αδελφής του Ιουλίας αναλαμβάνει η γιαγιά του Ευθαλία Πετροκοκκίνου. Μεγαλώνει σε ένα ευρωπαϊκό, επιστημονικό και αριστοκρατικό περιβάλλον, με ζωντανά τα στοιχεία της ελληνορθόδοξης οικογενειακής καταγωγής. Από μικρό παιδί μιλούσε Ελληνικά και Γαλλικά και πριν συμπληρώσει τα εφηβικά του χρόνια μιλούσε Τουρκικά και Γερμανικά. Έτσι ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής κληρονόμησε ένα ταλέντο για τις γλώσσες που επεκτείνεται πέρα από τις γενεές στην οικογένειά του. Τα ελληνικά και γαλλικά ήταν οι πρώτες γλώσσες του αλλά τελικά κυριάρχησαν τα γερμανικά με τα οποία μιλούσε με τέτοια τελειότητα καθ’ ότι και οι γραφές του συντίθενται στη γερμανική γλώσσα και είναι υφολογικά βασικά έργα του. Ο Καραθεοδωρής επίσης μιλούσε και έγραφε τα αγγλικά, ιταλικά, τουρκικά.

Η ιστορία του Εβαρίστε Γκαλουά

Τα πρώτα χρόνια

Ο Evariste Galois γεννήθηκε στις 25 Οκτωβρίου 1811 στην Bourg-la-Reine, μια μικρή περιοχή περίπου 5 χλμ νότια του Παρισιού. Στο σπίτι του στην Grande Rue  οι γονείς του είχαν ένα σχολείο. Ο πατέρας του Nicolas-Gabriel Galois είχε εκλεγεί δήμαρχος της Βourg -la-Reine το 1815. Κατά τη διάρκεια της εξορίας του Ναπολέοντα εξελέγη αρχηγός του κόμματος των ρεπουμπλικάνων της πόλης. Όντας ένθερμος υποστηρικτής του Ναπολέοντα, μετά το Βατερλό σκόπευε να αφήσει τη θέση του στον προκάτοχο του, ο οποίος εν τω μεταξύ έφυγε στο εξωτερικό. Ο Galois ζήτησε επιβεβαίωση της θέσης του από τους πολίτες, την οποία και κέρδισε. Η αντίδραση των συντηρητικών στοιχείων της πόλης όμως ήταν διαρκώς αυξανόμενη.

Λύση 500 σελίδων σε πρόβλημα μαθηματικών

Ιάπωνας μαθηματικός υποστηρίζει ότι έλυσε μαθηματικό γρίφο που κρατάει 27 χρόνια. Εάν η λύση των 500 σελίδων που δημοσίευσε ευσταθεί, τότε θα πρόκειται για ένα από τα πιο σημαντικά κατορθώματα στα μαθηματικά στον αιώνα που διανύουμε, με προεκτάσεις σε όλο το φάσμα το μαθηματικών αλλά ειδικότερα στη θεωρία αριθμών και τη κωδικοποίηση δεδομένων. 

Η ιστορία ενος μαθηματικού θησαυρού

Μούχλα, κόλλα και πλαστές εικόνες «πλήγωσαν» το Παλίμψηστο του Αρχιμήδη και έθεσαν τα μυστικά του σε κίνδυνο. Το 1000 ετών έργο, εμφανίστηκε σε δημοπρασία το 1998 από ανώνυμο αγοραστή με κόστος 2 εκατ. δολαρίων, και εκτίθεται πλέον στο Walters Art Museum, στη Βαλτιμόρη, Μέριλαντ.
Τα μυστικά της έκθεσης των έργων του Αρχιμήδη ξεδιπλώνουν την ιστορία του κειμένου καθώς και το έργο πολλών επιστημόνων και ακαδημαϊκών που αποκάλυψαν τα μυστικά του. Δώδεκα χρόνια εντατικής έρευνας και ογδόντα επιστήμονες όλων των ειδικοτήτων επιστρατεύτηκαν για να μπορέσουν να διαβάσουν τις θεωρίες του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού από τις Συρακούσες που ήταν κρυμμένες κάτω από τις προσευχές.

Φοβάμαι τα μαθηματικά!

Σύμφωνα με την Cemen στην ψυχολογία οι έννοιες φόβος, φοβία και άγχος θεωρούνται γενικά διακεκριμένες μεταξύ τους. Συνεπώς, όπως υποστηρίζει, το άγχος για τα μαθηματικά, και ο φόβος για τα μαθηματικά δεν θα πρέπει να θεωρούνται έννοιες ταυτόσημες. Όμως στα πλαίσια αυτής της εργασίας θα τις χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε το ίδιο φαινόμενο, αυτό της απέχθειας και αντιπάθειας που νοιώθει κάποιο άτομο για τα μαθηματικά.

   Με την λέξη μαθηματικοφοβία εννοούμε το φόβο, την ανασφάλεια και το δέος που αισθάνονται οι μαθητές για το μάθημα των μαθηματικών. Η μαθηματικοφοβία δεν είναι παθολογική κατάσταση, αλλά προξενείται από τις αρνητικές εμπειρίες των μαθητών στο μάθημα των μαθηματικών και επηρεάζει άμεσα τη μαθητική τους επίδοση, μειώνοντάς τη στο ελάχιστο.

Το χαλασμένο ασανσέρ

Ένα πρόβλημα που εκδόθηκε σε ενα μαθηματικό δελτίο που εκδίδει το τμήμα μαθηματικών του Augsburg  είναι το εξής :

Το ασανσέρ ενός ουρανοξύστη  65 οροφών έχει χαλάσει. Όταν κάποιος θέλει να ανέβει, μπορεί να το κάνει ανεβαίνοντας μόνο 8 ορόφους(ούτε λιγότερο ούτε περισσότερο). Αν δεν μπορεί να ανέβει 8 ορόφους  παραμένει ακινητοποιημένο .

Όταν πάλι κάποιος θέλει να κατέβει πρέπει να έχει υπόψιν του ότι το ασανσέρ κατεβαίνει μόνο 11 ορόφους(ούτε λιγότερο ουτε περισσότερο).

Υπάρχουν μόνο δυο κουμπιά που λειτουργούν, ένα για άνοδο και ένα για κάθοδο.

Το ασανσέρ  βρίσκεται στο πρώτο όροφο. Το ερώτημα που τίθεται είναι αν με τις συνθήκες που προαναφέραμε, μπορούμε να έχουμε πρόσβαση σε κάθε όροφο;

Λύση
 

ο Έλληνας που πήρε το βραβείο Shaw Prize στα Μαθηματικά

Το βραβείο «Shaw Prize» της Ασίας στα Μαθηματικά, το οποίο είναι αντίστοιχο του βραβείου Νόμπελ, αφού δεν είχε προβλεφθεί βράβευση Μαθηματικών, παρέλαβε την προηγούμενη Τετάρτη σε επίσημη τελετή στο Χονγκ Κονγκ ο μεγάλος Ελληνας μαθηματικός, φυσικός και διανοητής των επιστημονικών ιδεών, Δημήτρης Χριστοδούλου, ο οποίος σε ηλικία 21 ετών ήταν καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. 

Ο ίδιος, διαθέτοντας σπάνια αρχαιογνωσία, με υψηλή εξειδίκευση και στοχαστικό βάθος που θα ζήλευε οποιοσδήποτε καθηγητής Πανεπιστημίου Κλασικών Σπουδών στον κόσμο, θεωρεί ότι ο αρχαίος ελληνικός πολιτισμός στον επιστημονικό τομέα έκανε τέτοια τομή στην ιστορία της ανθρωπότητας και στην εξέλιξη του ανθρώπινου είδους, η οποία δεν επαναλήφθηκε ποτέ μέχρι σήμερα, παρά την καινοτομία και την επαναστατικότητα νεότερων επιστημονικών ιδεών.

Μάλιστα, θεωρεί τον Αρχιμήδη «τη μεγαλύτερη επιστημονική μεγαλοφυΐα όλων των εποχών», ο οποίος «είναι ό,τι ακριβώς ο Ομηρος για τους ποιητές ή ο Μέγας Αλέξανδρος για τους ηγέτες». 

H συνέντευξη

Έλληνας καθηγητής του Μ.Ι.Τ. απέδειξε το Θεώρημα του Νας

Γεννημένος το 1981 ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης από τα Χανιά έχει ήδη στο βιογραφικό του την επίλυση του γρίφου του John Forbes Nash. Μόλις στα 30 του είναι επίκουρος καθηγητής του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Πληροφορικής του Μ.Ι.Τ.

Ο γρίφος του Νας, που ο Δασκαλάκης έλυσε στα 28 του, απασχολούσε για περισσότερα από 60 χρόνια τους επιστήμονες.

Τα μαθηματικά στην.. παραλία!

  

Εφημερίδα ΒΗΜΑ- Ιωάννα Α. Σουφλέρη

 

Δώστε μια ευκαιρία στα μαθηματικά να σας γοητεύσουν, τρία βιβλία που παρουσίασε το ΒΗΜΑ. Στην πράξη θα δώσετε μια ευκαιρία στον εαυτό σας να ταξιδέψει σε έναν κόσμο εξαιρετικής αισθητικής. 

Αν ανήκετε σε εκείνη την κατηγορία ανθρώπων που ως μαθητές μισούσαν τα μαθηματικά και αν έχετε φροντίσει να τα εξαφανίσετε από τη ζωή σας μετά το λύκειο, τότε ο τίτλος αυτού του άρθρου θα σας φαίνεται οξύμωρο σχήμα. Ξανασκεφτείτε όμως. Ίσως τα μαθηματικά να προκαλούν δέος(ακόμη και αποστροφή) όταν είναι κανείς μαθητής και πρέπει να δώσει εξετάσεις. Αλλά τώρα που έχετε χρόνο, είστε χαλαροί στην παραλία και δεν υπάρχει κανένας να σας επιπλήξει αν δεν βρείτε τη λύση ενός προβλήματος, μπορεί και να τα αγαπήσετε. Δώστε μια ευκαιρία στα μαθηματικά να σας γοητεύσουν, με τα τρία βιβλία που παρουσιάζουμε σήμερα. Στην πράξη θα δώσετε μια ευκαιρία στον εαυτό σας να ταξιδέψει σε έναν κόσμο εξαιρετικής αισθητικής.

Ας αρχίσουμε με κάτι «μαγικό», κάτι με το οποίο θα μπορέσετε να εντυπωσιάσετε τους φίλους σας. Ζητήστε τους να σκεφθούν έναν τριψήφιο αριθμό, οποιονδήποτε τριψήφιο αριθμό, υπό την προϋπόθεση ότι το πρώτο και το τρίτο ψηφίο θα διαφέρουν κατά τουλάχιστον δύο μονάδες. Φυσικά δεν θα σας πουν τον αριθμό που σκέφθηκαν.

Επόμενο βήμα είναι να τους ζητήσετε να αντιστρέψουν αυτόν τον αριθμό και να αφαιρέσουν τον μικρότερο από τον μεγαλύτερο. (Παραδείγματος χάριν, αν σκέφθηκαν το 532, μετά την αντιστροφή το 532 γίνεται 235, το οποίο αφαιρούμενο από το 532 δίνει αποτέλεσμα 297.)
Τρίτο και τελευταίο βήμα είναι να τους ζητήσετε να αντιστρέψουν τον αριθμό που έχει προκύψει από την αφαίρεση και να προσθέσουν τους δύο αριθμούς. (Στην περίπτωση του παραδείγματός μας, αυτό σημαίνει ότι θα προσθέσουν το 297 με το 792.)
Αφού κάνουν όλα αυτά, εσείς θα τους αφήσετε άφωνους μαντεύοντας ότι το αποτέλεσμα αυτής της πρόσθεσης είναι το 1.089  !!

Τον αριθμό 1.089 έχει ως τίτλο το βιβλίο του Βρετανού καθηγητή του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης David Αcheson. Όπως σημειώνει ο Αcheson, «το κόλπο του 1.089» ήταν αυτό που τον έπεισε σε ηλικία 10 ετών για το πόσο ενδιαφέρον έχουν τα μαθηματικά. Βλέπετε, αν ακολουθήσετε τους κανόνες, το αποτέλεσμα είναι πάντα 1.089 και δεν εξαρτάται από τον αρχικό αριθμό, αυτόν που τυχαίως θα έχουν επιλέξει οι φίλοι σας. 

Τόσο το πόνημα του Αcheson όσο και εκείνο του Λαμπέρτο Γκαρθία δελ Σιδ βρίθουν «κόλπων» τα οποία δεν είναι πάντα δυνατόν να επαναλάβετε στην παραλία, αλλά τα οποία σίγουρα θα σας διασκεδάσουν και θα ακονίσουν το πνεύμα σας. Υπάρχουν μάλιστα και κάποια που μπορεί και να σας προστατεύσουν, ειδικά αν διαθέτετε βλαστάρια που «σκίζουν» στα μαθηματικά, όπως ο Εδουάρδος, που ζητούσε από τον πατέρα του χαρτζιλίκι 5 ευρώ την εβδομάδα ενώ εκείνος ήθελε να του δίνει 3. Σύμφωνα με τον Δελ Σιδ (σελ. 19), ο πιτσιρικάς έκανε στον πατέρα του την εξής πρόταση: να του δίνει για διάστημα ενός μηνός ένα λεπτό του ευρώ την πρώτη ημέρα, δύο την επόμενη, τέσσερα την τρίτη και ούτω καθεξής, ως την τριακοστή. Πρόσθεσε δε ότι από το τέλος του μήνα και μετά δεν θα ήθελε ποτέ πια χαρτζιλίκι. Ο πατέρας του συμφώνησε, για να διαπιστώσει σύντομα το λάθος του: ούτε λίγο ούτε πολύ ως το τέλος του μήνα ο νεαρός θα έπρεπε να εισπράξει 10.737.418,23 ευρώ! Κάντε τις προσθέσεις και θα το διαπιστώσετε... 

Από την άλγεβρα και τη γεωμετρία ως την τοπολογία και τη στατιστική, τα βιβλία των Αcheson και Δελ Σιδ διαβάζονται με ή χωρίς σειρά(κάθε κεφάλαιο είναι μια ολοκληρωμένη ενότητα) και αν ακόμη κάπου δυσκολευτείτε με τα μαθηματικά, οι ιστορίες που τα συνοδεύουν(στην περίπτωση του Χαμόγελου του Πυθαγόρα αυτές είναι σε ευδιάκριτους πίνακες) και οι οποίες δεν απαιτούν μαθηματικές γνώσεις θα σας έχουν αποζημιώσει.  

 

Το βιβλίο του Ντενί Γκετζ Το Θεώρημα του παπαγάλου βεβαίως δεν είναι καινούργιο. Η πρώτη ελληνική έκδοσή του χρονολογείται από το 1999. Ωστόσο στην πρόσφατη έκδοσή του το βιβλίο έχει ξαναμεταφραστεί(αριστοτεχνικά, από τον Τεύκρο Μιχαηλίδη) και όσοι δεν το διαβάσατε θα άξιζε τον κόπο να αρχίσετε με αυτό την επαφή σας με τη «μαθηματική λογοτεχνία». Ο Γκετζ δεν παραθέτει γρίφους σαν αυτούς των δύο προηγούμενων βιβλίων. Το βιβλίο του συνδυάζει ένα αστυνομικό μυστήριο με κυριολεκτικά ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών. Οι κεντρικοί ήρωες του, ένας γηραιός βιβλιοπώλης, δύο δίδυμα αδέλφια στην εφηβεία, ο ιδιαίτερα προικισμένος υιοθετημένος μικρός αδελφός τους και η μητέρα τους μοιράζονται την ίδια στέγη στη Μονμάρτρη. Η ζωή τους αναστατώνεται από την άφιξη ενός γράμματος από τα βάθη του Αμαζονίου και ενός παπαγάλου που κρύβει πολλά μυστικά. Με φόντο κυρίως το Παρίσι, αλλά επίσης τη Νότια Ιταλία και την Αμαζονία, ο Γκετζ στήνει μια ιστορία μυστηρίου, για την επίλυση του οποίου οι ήρωες θα χρειαστεί να ανατρέξουν στο σύνολο των μαθηματικών γνωρίζοντάς μας εκείνους που πρωτοστάτησαν στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης. Τόσο διεξοδικός έχει υπάρξει ο Γκετζ ώστε πολλά από τα ιστορικά ανέκδοτα που βρίσκονται στα άλλα δύο βιβλία να υπάρχουν και εδώ. Επίσης, ως «παράπλευρο μπόνους», οι λάτρεις του Παρισιού θα έχουν την ευκαιρία να περπατήσουν στις γειτονιές του.  

οι 7 Γέφυρες του Königsberg

Η πόλη Königsberg της Πρωσίας(σημερινό Kaliningrad της Ρωσίας), ιδρύθηκε στις δύο πλευρές του ποταμού Pregel και περιλάμβανε δύο νησιά που συνδέονταν μεταξύ τους άλλα και με την ηπειρωτική χώρα με επτά γέφυρες.

Οι κάτοικοι της πόλης είχαν δημιουργήσει το εξής πολύ δύσκολο πρόβλημα: Να βρεθεί μια διαδρομή στην πόλη που θα διέσχιζε κάθε γέφυρα μόνο μία φορά. Στα νησιά θα μπορούσε να φτάσει κανείς μόνο μέσω των γεφυρών και κάθε γέφυρα πρέπει να έχει περαστεί ολόκληρη κάθε φορά(χωρίς κάποιος να περπατήσει μέχρι τη μέση και να γυρίσει πίσω).

Μέρος πλέον της ζωής των κατοίκων που προσπαθούσαν στον καθημερινό περίπατο τους όταν είχαν ελεύθερο να πετύχουν τη διαδρομή που θα τους έδινε τη λύση. Όσο όμως και να προσπαθούσαν, πάντα υπήρχε μία γέφυρα που δεν μπορούσαν να προσεγγίσουν. Ήταν αδύνατο ή απλά δεν είχαν βρει τον τρόπο που θα τους επέτρεπε να τις διασχίσουν όλες;

Ο πολύ γνωστός Ελβετός μαθηματικός Εuler έχοντας ακούσει για τον παραπάνω πρόβλημα, εφτασε στην πόλη, το 1735 και εφαρμόζοντας μία νέα μαθηματική προσέγγιση στο πρόβλημα κατάφερε πολύ εύκολα να αποδείξει πως το πρόβλημα ήταν αδύνατο να λυθει. Η λύση του ήταν πολύ σημαντική για μαθηματικά αφού έτσι έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία γραφημάτων αλλά και την ιδέα της τοπολογίας.

Η απόδειξη

Το σημαντικό εννοιολογικό άλμα που πραγματοποίησε ο Euler, ήταν να συνειδητοποιήσει ότι οι πραγματικές διαστάσεις της πόλης δεν είχαν καμία σχέση με το πρόβλημα. Το πιο σημαντικό στοιχείο ήταν, το πώς συνδέονταν οι γέφυρες μεταξύ τους. Η ίδια αρχή διέπει για παράδειγμα και τον χάρτη του υπογείου του Λονδίνου: δεν είναι ένας ακριβής πραγματολογικά και φυσικά χάρτης, απλά περιέχει πληροφορίες για το πώς είναι συνδεδεμένοι οι σταθμοί. Όταν ο Euler σχεδίασε και ανέλυσε τον χάρτη του Königsberg με αυτό το τρόπο, συνειδητοποίησε ότι οι 4 περιοχές γης που συνδέονταν από τις γέφυρες, μπορούσαν να αντικατασταθούν από σημεία, ενώ οι γέφυρες από γραμμές που ένωναν τα σημεία. Το πρόβλημα λοιπόν του μοναδικού περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες(και της μοναδικής λύσης στο πρόβλημα), ισοδυναμούσε με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί, ενός σχεδιαγράμματος, χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές.

Γιατί ήταν λοιπόν αδύνατο; O Euler συνειδητοποίησε ότι σε ένα γράφημα που το μονοπάτι θα ήταν εφικτό, κάθε σημείο που θα επισκεπτόταν το μολύβι θα έπρεπε να είχε μία γραμμή να καταλήγει και μία να ξεκινάει από αυτό. Εάν επισκεπτόσουν αυτό το σημείο ξανά, θα έπρεπε να υπάρχει μία καινούργια γέφυρα προς αυτό και από αυτό. Έτσι θα έπρεπε να υπάρχουν μόνο ζυγοί αριθμοί γεφυρών που να ακουμπούν κάθε σημείο. Οι μόνες εξαιρέσεις αυτού κανόνα είναι η αρχή και το τέλος του μονοπατιού. Το σημείο εκκίνησης έχει μόνο μία γραμμή που ξεκινάει από αυτό και το σημείο τερματισμού μία γραμμή που καταλήγει σε αυτό. Έτσι για να είναι ένα μονοπάτι εφικτό, όχι παραπάνω από δύο σημεία(η αρχή και το τέλος) πρέπει να έχουν μονό αριθμό γραμμών. Αν όμως δούμε την κάτοψη των 7 γεφυρών του Königsberg, κάθε σημείο έχει μονό αριθμό γεφυρών που ξεπηδούν από αυτό. Για αυτό και το εν λόγω ταξίδι ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί. 

πηγές:

www.papaveri48.blogspot.com