Η πόλη Königsberg της Πρωσίας(σημερινό Kaliningrad της Ρωσίας), ιδρύθηκε στις δύο πλευρές του ποταμού Pregel και περιλάμβανε δύο νησιά που συνδέονταν μεταξύ τους άλλα και με την ηπειρωτική χώρα με επτά γέφυρες.
Οι κάτοικοι της πόλης είχαν δημιουργήσει το εξής πολύ δύσκολο πρόβλημα: Να βρεθεί μια διαδρομή στην πόλη που θα διέσχιζε κάθε γέφυρα μόνο μία φορά. Στα νησιά θα μπορούσε να φτάσει κανείς μόνο μέσω των γεφυρών και κάθε γέφυρα πρέπει να έχει περαστεί ολόκληρη κάθε φορά(χωρίς κάποιος να περπατήσει μέχρι τη μέση και να γυρίσει πίσω).
Μέρος πλέον της ζωής των κατοίκων που προσπαθούσαν στον καθημερινό περίπατο τους όταν είχαν ελεύθερο να πετύχουν τη διαδρομή που θα τους έδινε τη λύση. Όσο όμως και να προσπαθούσαν, πάντα υπήρχε μία γέφυρα που δεν μπορούσαν να προσεγγίσουν. Ήταν αδύνατο ή απλά δεν είχαν βρει τον τρόπο που θα τους επέτρεπε να τις διασχίσουν όλες;
Ο πολύ γνωστός Ελβετός μαθηματικός Εuler έχοντας ακούσει για τον παραπάνω πρόβλημα, εφτασε στην πόλη, το 1735 και εφαρμόζοντας μία νέα μαθηματική προσέγγιση στο πρόβλημα κατάφερε πολύ εύκολα να αποδείξει πως το πρόβλημα ήταν αδύνατο να λυθει. Η λύση του ήταν πολύ σημαντική για μαθηματικά αφού έτσι έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία γραφημάτων αλλά και την ιδέα της τοπολογίας.
Η απόδειξη
Το σημαντικό εννοιολογικό άλμα που πραγματοποίησε ο Euler, ήταν να συνειδητοποιήσει ότι οι πραγματικές διαστάσεις της πόλης δεν είχαν καμία σχέση με το πρόβλημα. Το πιο σημαντικό στοιχείο ήταν, το πώς συνδέονταν οι γέφυρες μεταξύ τους. Η ίδια αρχή διέπει για παράδειγμα και τον χάρτη του υπογείου του Λονδίνου: δεν είναι ένας ακριβής πραγματολογικά και φυσικά χάρτης, απλά περιέχει πληροφορίες για το πώς είναι συνδεδεμένοι οι σταθμοί. Όταν ο Euler σχεδίασε και ανέλυσε τον χάρτη του Königsberg με αυτό το τρόπο, συνειδητοποίησε ότι οι 4 περιοχές γης που συνδέονταν από τις γέφυρες, μπορούσαν να αντικατασταθούν από σημεία, ενώ οι γέφυρες από γραμμές που ένωναν τα σημεία. Το πρόβλημα λοιπόν του μοναδικού περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες(και της μοναδικής λύσης στο πρόβλημα), ισοδυναμούσε με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί, ενός σχεδιαγράμματος, χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές.
Γιατί ήταν λοιπόν αδύνατο; O Euler συνειδητοποίησε ότι σε ένα γράφημα που το μονοπάτι θα ήταν εφικτό, κάθε σημείο που θα επισκεπτόταν το μολύβι θα έπρεπε να είχε μία γραμμή να καταλήγει και μία να ξεκινάει από αυτό. Εάν επισκεπτόσουν αυτό το σημείο ξανά, θα έπρεπε να υπάρχει μία καινούργια γέφυρα προς αυτό και από αυτό. Έτσι θα έπρεπε να υπάρχουν μόνο ζυγοί αριθμοί γεφυρών που να ακουμπούν κάθε σημείο. Οι μόνες εξαιρέσεις αυτού κανόνα είναι η αρχή και το τέλος του μονοπατιού. Το σημείο εκκίνησης έχει μόνο μία γραμμή που ξεκινάει από αυτό και το σημείο τερματισμού μία γραμμή που καταλήγει σε αυτό. Έτσι για να είναι ένα μονοπάτι εφικτό, όχι παραπάνω από δύο σημεία(η αρχή και το τέλος) πρέπει να έχουν μονό αριθμό γραμμών. Αν όμως δούμε την κάτοψη των 7 γεφυρών του Königsberg, κάθε σημείο έχει μονό αριθμό γεφυρών που ξεπηδούν από αυτό. Για αυτό και το εν λόγω ταξίδι ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί.
πηγές:
www.papaveri48.blogspot.com
0 σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου