Οι μέλισσες πιο γρήγορες από Ηλ. Υπολογιστή

Πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα είναι ικανές να λύσουν οι μέλισσες, που ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής θα χρειαζόταν μέρες...
 
Σύμφωνα με νέα επιστημονική έρευνα, που έρχεται να αναδείξει μια ακόμη εκπληκτική ικανότητα ενστικτώδους νοημοσύνης στο ζωικό βασίλειο.

Οι μέλισσες, σύμφωνα με την έρευνα, μαθαίνουν να πετούν ακολουθώντας τη συντομότερη δυνατή διαδρομή, προκειμένου να εξοικονομούν ενέργεια, ανάμεσα στα λουλούδια, που έχουν προηγουμένως ανακαλύψει με τυχαία σειρά.

Με τον τρόπο αυτό δίνουν λύση στο λεγόμενο πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή, ένα διάσημο γρίφο στο χώρο της πληροφορικής και των μαθηματικών.

Τα μαθηματικά στην.. παραλία!

  

Εφημερίδα ΒΗΜΑ- Ιωάννα Α. Σουφλέρη

 

Δώστε μια ευκαιρία στα μαθηματικά να σας γοητεύσουν, τρία βιβλία που παρουσίασε το ΒΗΜΑ. Στην πράξη θα δώσετε μια ευκαιρία στον εαυτό σας να ταξιδέψει σε έναν κόσμο εξαιρετικής αισθητικής. 

Αν ανήκετε σε εκείνη την κατηγορία ανθρώπων που ως μαθητές μισούσαν τα μαθηματικά και αν έχετε φροντίσει να τα εξαφανίσετε από τη ζωή σας μετά το λύκειο, τότε ο τίτλος αυτού του άρθρου θα σας φαίνεται οξύμωρο σχήμα. Ξανασκεφτείτε όμως. Ίσως τα μαθηματικά να προκαλούν δέος(ακόμη και αποστροφή) όταν είναι κανείς μαθητής και πρέπει να δώσει εξετάσεις. Αλλά τώρα που έχετε χρόνο, είστε χαλαροί στην παραλία και δεν υπάρχει κανένας να σας επιπλήξει αν δεν βρείτε τη λύση ενός προβλήματος, μπορεί και να τα αγαπήσετε. Δώστε μια ευκαιρία στα μαθηματικά να σας γοητεύσουν, με τα τρία βιβλία που παρουσιάζουμε σήμερα. Στην πράξη θα δώσετε μια ευκαιρία στον εαυτό σας να ταξιδέψει σε έναν κόσμο εξαιρετικής αισθητικής.

Ας αρχίσουμε με κάτι «μαγικό», κάτι με το οποίο θα μπορέσετε να εντυπωσιάσετε τους φίλους σας. Ζητήστε τους να σκεφθούν έναν τριψήφιο αριθμό, οποιονδήποτε τριψήφιο αριθμό, υπό την προϋπόθεση ότι το πρώτο και το τρίτο ψηφίο θα διαφέρουν κατά τουλάχιστον δύο μονάδες. Φυσικά δεν θα σας πουν τον αριθμό που σκέφθηκαν.

Επόμενο βήμα είναι να τους ζητήσετε να αντιστρέψουν αυτόν τον αριθμό και να αφαιρέσουν τον μικρότερο από τον μεγαλύτερο. (Παραδείγματος χάριν, αν σκέφθηκαν το 532, μετά την αντιστροφή το 532 γίνεται 235, το οποίο αφαιρούμενο από το 532 δίνει αποτέλεσμα 297.)
Τρίτο και τελευταίο βήμα είναι να τους ζητήσετε να αντιστρέψουν τον αριθμό που έχει προκύψει από την αφαίρεση και να προσθέσουν τους δύο αριθμούς. (Στην περίπτωση του παραδείγματός μας, αυτό σημαίνει ότι θα προσθέσουν το 297 με το 792.)
Αφού κάνουν όλα αυτά, εσείς θα τους αφήσετε άφωνους μαντεύοντας ότι το αποτέλεσμα αυτής της πρόσθεσης είναι το 1.089  !!

Τον αριθμό 1.089 έχει ως τίτλο το βιβλίο του Βρετανού καθηγητή του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης David Αcheson. Όπως σημειώνει ο Αcheson, «το κόλπο του 1.089» ήταν αυτό που τον έπεισε σε ηλικία 10 ετών για το πόσο ενδιαφέρον έχουν τα μαθηματικά. Βλέπετε, αν ακολουθήσετε τους κανόνες, το αποτέλεσμα είναι πάντα 1.089 και δεν εξαρτάται από τον αρχικό αριθμό, αυτόν που τυχαίως θα έχουν επιλέξει οι φίλοι σας. 

Τόσο το πόνημα του Αcheson όσο και εκείνο του Λαμπέρτο Γκαρθία δελ Σιδ βρίθουν «κόλπων» τα οποία δεν είναι πάντα δυνατόν να επαναλάβετε στην παραλία, αλλά τα οποία σίγουρα θα σας διασκεδάσουν και θα ακονίσουν το πνεύμα σας. Υπάρχουν μάλιστα και κάποια που μπορεί και να σας προστατεύσουν, ειδικά αν διαθέτετε βλαστάρια που «σκίζουν» στα μαθηματικά, όπως ο Εδουάρδος, που ζητούσε από τον πατέρα του χαρτζιλίκι 5 ευρώ την εβδομάδα ενώ εκείνος ήθελε να του δίνει 3. Σύμφωνα με τον Δελ Σιδ (σελ. 19), ο πιτσιρικάς έκανε στον πατέρα του την εξής πρόταση: να του δίνει για διάστημα ενός μηνός ένα λεπτό του ευρώ την πρώτη ημέρα, δύο την επόμενη, τέσσερα την τρίτη και ούτω καθεξής, ως την τριακοστή. Πρόσθεσε δε ότι από το τέλος του μήνα και μετά δεν θα ήθελε ποτέ πια χαρτζιλίκι. Ο πατέρας του συμφώνησε, για να διαπιστώσει σύντομα το λάθος του: ούτε λίγο ούτε πολύ ως το τέλος του μήνα ο νεαρός θα έπρεπε να εισπράξει 10.737.418,23 ευρώ! Κάντε τις προσθέσεις και θα το διαπιστώσετε... 

Από την άλγεβρα και τη γεωμετρία ως την τοπολογία και τη στατιστική, τα βιβλία των Αcheson και Δελ Σιδ διαβάζονται με ή χωρίς σειρά(κάθε κεφάλαιο είναι μια ολοκληρωμένη ενότητα) και αν ακόμη κάπου δυσκολευτείτε με τα μαθηματικά, οι ιστορίες που τα συνοδεύουν(στην περίπτωση του Χαμόγελου του Πυθαγόρα αυτές είναι σε ευδιάκριτους πίνακες) και οι οποίες δεν απαιτούν μαθηματικές γνώσεις θα σας έχουν αποζημιώσει.  

 

Το βιβλίο του Ντενί Γκετζ Το Θεώρημα του παπαγάλου βεβαίως δεν είναι καινούργιο. Η πρώτη ελληνική έκδοσή του χρονολογείται από το 1999. Ωστόσο στην πρόσφατη έκδοσή του το βιβλίο έχει ξαναμεταφραστεί(αριστοτεχνικά, από τον Τεύκρο Μιχαηλίδη) και όσοι δεν το διαβάσατε θα άξιζε τον κόπο να αρχίσετε με αυτό την επαφή σας με τη «μαθηματική λογοτεχνία». Ο Γκετζ δεν παραθέτει γρίφους σαν αυτούς των δύο προηγούμενων βιβλίων. Το βιβλίο του συνδυάζει ένα αστυνομικό μυστήριο με κυριολεκτικά ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών. Οι κεντρικοί ήρωες του, ένας γηραιός βιβλιοπώλης, δύο δίδυμα αδέλφια στην εφηβεία, ο ιδιαίτερα προικισμένος υιοθετημένος μικρός αδελφός τους και η μητέρα τους μοιράζονται την ίδια στέγη στη Μονμάρτρη. Η ζωή τους αναστατώνεται από την άφιξη ενός γράμματος από τα βάθη του Αμαζονίου και ενός παπαγάλου που κρύβει πολλά μυστικά. Με φόντο κυρίως το Παρίσι, αλλά επίσης τη Νότια Ιταλία και την Αμαζονία, ο Γκετζ στήνει μια ιστορία μυστηρίου, για την επίλυση του οποίου οι ήρωες θα χρειαστεί να ανατρέξουν στο σύνολο των μαθηματικών γνωρίζοντάς μας εκείνους που πρωτοστάτησαν στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης. Τόσο διεξοδικός έχει υπάρξει ο Γκετζ ώστε πολλά από τα ιστορικά ανέκδοτα που βρίσκονται στα άλλα δύο βιβλία να υπάρχουν και εδώ. Επίσης, ως «παράπλευρο μπόνους», οι λάτρεις του Παρισιού θα έχουν την ευκαιρία να περπατήσουν στις γειτονιές του.  

Λύση στο Αίνιγμα #11 -Φυτίλι, φυτίλι

Το Αίνιγμα

Έχουμε δύο φυτίλια αγνώστου μήκους που καίγονται ανομοιόμορφα. Και τα δύο χρειάζονται μία ώρα ακριβώς για να καούν, ξεχωριστά. Πώς μπορούμε να χρονομετρήσουμε/ορίσουμε διάστημα 45min με τη βοήθεια των φυτιλιών?

H Λύση 

Αρχικά ανάβουμε το ένα φυτίλι και από τις δύο πλευρές και το άλλο φυτίλι μόνο από τη μία πλευρά. Το πρώτο φυτίλι θα τελειώσει μετά από 30min, ακριβώς τη στιγμή που θα τελειώσει και θα σβήσει το ανάβουμε το δεύτερο φυτίλι και από την άλλη πλευρά. Το δεύτερο φυτίλι θα κάνει άλλα 15min(έχουν μείνει 30min και το έχουμε βάλει φωτιά και από τις δύο πλευρές) για να σβήσει, οπότε έχουμε το ζητούμενο διάστημα των 45min.

οι 7 Γέφυρες του Königsberg

Η πόλη Königsberg της Πρωσίας(σημερινό Kaliningrad της Ρωσίας), ιδρύθηκε στις δύο πλευρές του ποταμού Pregel και περιλάμβανε δύο νησιά που συνδέονταν μεταξύ τους άλλα και με την ηπειρωτική χώρα με επτά γέφυρες.

Οι κάτοικοι της πόλης είχαν δημιουργήσει το εξής πολύ δύσκολο πρόβλημα: Να βρεθεί μια διαδρομή στην πόλη που θα διέσχιζε κάθε γέφυρα μόνο μία φορά. Στα νησιά θα μπορούσε να φτάσει κανείς μόνο μέσω των γεφυρών και κάθε γέφυρα πρέπει να έχει περαστεί ολόκληρη κάθε φορά(χωρίς κάποιος να περπατήσει μέχρι τη μέση και να γυρίσει πίσω).

Μέρος πλέον της ζωής των κατοίκων που προσπαθούσαν στον καθημερινό περίπατο τους όταν είχαν ελεύθερο να πετύχουν τη διαδρομή που θα τους έδινε τη λύση. Όσο όμως και να προσπαθούσαν, πάντα υπήρχε μία γέφυρα που δεν μπορούσαν να προσεγγίσουν. Ήταν αδύνατο ή απλά δεν είχαν βρει τον τρόπο που θα τους επέτρεπε να τις διασχίσουν όλες;

Ο πολύ γνωστός Ελβετός μαθηματικός Εuler έχοντας ακούσει για τον παραπάνω πρόβλημα, εφτασε στην πόλη, το 1735 και εφαρμόζοντας μία νέα μαθηματική προσέγγιση στο πρόβλημα κατάφερε πολύ εύκολα να αποδείξει πως το πρόβλημα ήταν αδύνατο να λυθει. Η λύση του ήταν πολύ σημαντική για μαθηματικά αφού έτσι έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία γραφημάτων αλλά και την ιδέα της τοπολογίας.

Η απόδειξη

Το σημαντικό εννοιολογικό άλμα που πραγματοποίησε ο Euler, ήταν να συνειδητοποιήσει ότι οι πραγματικές διαστάσεις της πόλης δεν είχαν καμία σχέση με το πρόβλημα. Το πιο σημαντικό στοιχείο ήταν, το πώς συνδέονταν οι γέφυρες μεταξύ τους. Η ίδια αρχή διέπει για παράδειγμα και τον χάρτη του υπογείου του Λονδίνου: δεν είναι ένας ακριβής πραγματολογικά και φυσικά χάρτης, απλά περιέχει πληροφορίες για το πώς είναι συνδεδεμένοι οι σταθμοί. Όταν ο Euler σχεδίασε και ανέλυσε τον χάρτη του Königsberg με αυτό το τρόπο, συνειδητοποίησε ότι οι 4 περιοχές γης που συνδέονταν από τις γέφυρες, μπορούσαν να αντικατασταθούν από σημεία, ενώ οι γέφυρες από γραμμές που ένωναν τα σημεία. Το πρόβλημα λοιπόν του μοναδικού περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες(και της μοναδικής λύσης στο πρόβλημα), ισοδυναμούσε με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί, ενός σχεδιαγράμματος, χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές.

Γιατί ήταν λοιπόν αδύνατο; O Euler συνειδητοποίησε ότι σε ένα γράφημα που το μονοπάτι θα ήταν εφικτό, κάθε σημείο που θα επισκεπτόταν το μολύβι θα έπρεπε να είχε μία γραμμή να καταλήγει και μία να ξεκινάει από αυτό. Εάν επισκεπτόσουν αυτό το σημείο ξανά, θα έπρεπε να υπάρχει μία καινούργια γέφυρα προς αυτό και από αυτό. Έτσι θα έπρεπε να υπάρχουν μόνο ζυγοί αριθμοί γεφυρών που να ακουμπούν κάθε σημείο. Οι μόνες εξαιρέσεις αυτού κανόνα είναι η αρχή και το τέλος του μονοπατιού. Το σημείο εκκίνησης έχει μόνο μία γραμμή που ξεκινάει από αυτό και το σημείο τερματισμού μία γραμμή που καταλήγει σε αυτό. Έτσι για να είναι ένα μονοπάτι εφικτό, όχι παραπάνω από δύο σημεία(η αρχή και το τέλος) πρέπει να έχουν μονό αριθμό γραμμών. Αν όμως δούμε την κάτοψη των 7 γεφυρών του Königsberg, κάθε σημείο έχει μονό αριθμό γεφυρών που ξεπηδούν από αυτό. Για αυτό και το εν λόγω ταξίδι ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί. 

πηγές:

www.papaveri48.blogspot.com

Η ακολουθία Fibonacci

Στα μαθηματικά η ακολουθία Fibonacci είναι η παρακάτω ακολουθία αριθμών:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ..

Εξ ορισμού οι δύο πρώτοι όροι της ακολουθίας είναι το 0 και το 1, ενώ κάθε επόμενος αριθμός ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων. Στη μαθηματική ορολογία οι όροι της ακολουθίας ορίζονται από τον εξής αναδρομικό τύπο:

με και .

Προέλευση

Η ακολουθία πήρε το όνομα της από τον Λεονάρντο της Πίζας, ή αλλιώς γνωστός και ως Fibonacci. Ο Fibonacci εισήγαγε την ακολουθία στη Δυτική Ευρώπη το 1202, στο βιβλίο του "Liber Abaci" ή "Βιβλίο των υπολογισμών" ένα βιβλίο γεμάτο με τις μαθηματικές γνώσεις που είχε περισυλλέξει στα ταξίδια του αν και η ακολουθία τελικά ήταν γνωστή ήδη από τα Ινδικά μαθηματικά. Στο βιβλίο του η ακολουθία έχει ως πρώτο όρο το 1, δηλαδή παραλείπεται το 0. Στα Ινδικά μαθηματικά η ακολουθία εμφανίζεται σε σύνδεση με την προσωδία και τον επιτονισμό της γλώσσας των Σανσκρίτ. Στη σανσκριτική προφορική και γλωσσική παράδοση κυρίως στην ποίηση, υπήρξε πολλή έμφαση στο πόσο χρονικό διάστημα μεγάλες(σε διάρκεια) συλλαβές αναμειγνύονται με τις σύντομες. Η μέτρηση των διάφορων μοντέλων που εμφανίζονταν στο "μήκος" των συλλαβών μέσα σε συγκεκριμένο διάστημα είχαν ως αποτέλεσμα  τους αριθμούς Fibonacci. Στη Δύση ο Fibonacci παρομοιάζει και παρουσιάζει την ακολουθία με το εξής πρόβλημα αναπαραγωγής λαγών:  

Ένα πρόσφατα γεννημένο ζευγάρι κουνελιών, ένα αρσενικό και ένα θηλυκό, τοποθετείτε σε μία φάρμα. Τα κουνέλια είναι σε θέση να ζευγαρώσουν στην ηλικία του ενός μηνός, έτσι ώστε στο τέλος του δεύτερου μήνα, ένα θηλυκό να μπορεί να αναπαράγει άλλο ένα ζεύγος κουνελιών. Τα κουνέλια δε θα πεθαίνουν ποτέ και ένα ζευγάρι παράγει πάντα ένα νέο ζευγάρι(ένα αρσενικό και ένα θηλυκό) κάθε μήνα ξεκινώντας από το δεύτερο μήνα. Το πρόβλημα, το οποίο θέτει Fibonacci ήταν: πόσα ζευγάρια θα υπάρχουν σε ένα χρόνο; Η ονομασία "ακολουθία Fibonacci" χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα από τον μαθηματικό Édouard Lucas.

 

Εφαρμογές

Η ακολουθία Fibonacci έχει συνδεθεί με την Χρυσή Τομή. Το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων τείνει στη χρυσή τομή. Η ακολουθία μάλιστα έχει και πολλές σημαντικές εφαρμογές σε  δομές δεδομένων όπως οι Σωροί Φιμπονάτσι(Fibonacci heap), ή αλγορίθμους προγραμματισμού όπως η Μέθοδος Αναζήτησης Φιμπονάτσι(Fibonacci search technique) αλλά και γραφήματα(κύβοι/υπερκύβοι Φιμπονάτσι) που χρησιμοποιούνται στην τοπολογία δικτύων και στον παράλληλο προγραμματισμό.

Άλλες εφαρμογές στον προγραμματισμό: 

- Οι αριθμοί Fibonacci είναι σημαντικοί για την υπολογιστική ανάλυση του χρόνου εκτέλεσης του αλγορίθμου του Ευκλείδη για τον καθορισμό του μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων:. η χειρότερη περίπτωση για αυτόν τον αλγόριθμο είναι η εισαγωγή ενός ζεύγους διαδοχικών αριθμών Fibonacci.

- Ο Yuri Matiyasevich κατάφερε να αποδείξει ότι οι αριθμοί Fibonacci είναι δυνατόν να ορίζονται από μια Διοφαντική εξίσωση, η οποία οδήγησε στην αρχική λύση του το δέκατου πρόβληματος του Hilbert.

- Οι αριθμοί Fibonacci είναι επίσης ένα παράδειγμα μιας πλήρους ακολουθίας. Αυτό σημαίνει ότι κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί ως άθροισμα των αριθμών Fibonacci, όπου κάθε ένας αριθμός θα χρησιμοποιηθεί το πολύ μία φορά. Συγκεκριμένα, κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί με έναν μοναδικό τρόπο ενός ή περισσοτέρων διακριτών αριθμών Fibonacci με τέτοιο τρόπο ώστε να μην περιλαμβάνει δύο διαδοχικών αριθμών Fibonacci. Αυτό είναι γνωστό και ως Θεώρημα Zeckendorf.

- Οι αριθμοί Fibonacci χρησιμοποιούνται από ορισμένες γεννήτριες (ψευδο)τυχαίων αριθμών ή αλλιώς pseudorandom number generator (PRNG).

Η ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται ακόμα και στη Βιολογία. Στη διακλάδωση των δέντρων, στη διάταξη του άνθος της αγκινάρας , στα πέταλα του ηλίανθου, στα φύλλα της φτέρης, στην δομή της κουκουνάρας, του ανανά και άλλα. Επιπλέον, πολλές ανεπαρκώς τεκμηριωμένες συνδέσεις με τους αριθμούς Fibonacci υπάρχουν με την εκτροφή λαγών,  τις σπείρες των κοχυλιών, την καμπύλη των κυμάτων της θάλασσας αλλά και στο γενεαλογικό δέντρο των μελισσών.

Η συμβολή της ακολουθίας Fibonacci επεκτείνετε και στην τέχνη. Στην αρχιτεκτονική κτιρίων(Eden Project), ενώ έχει υπάρξει αντικείμενο έμπνευσης για πολλούς καλλιτέχνες στη Μουσική(Krzysztof Meyer), στον Κινηματογράφο(Pi, The Da Vinci Code, 21), στη Λογοτεχνία(The Da Vinci Code, The Wright 3, Decipher), στην τηλεόραση, σε ψηφιακά εφέ και σε κόμικ.

ΑΙΝΙΓΜΑ- Ο παίκτης μπιλιάρδου

Μία αεροσυνοδός σταματάει λίγο πριν μπει στο αεροπλάνο έναν ερασιτέχνη παίκτη μπιλιάρδου καθώς η στέκα του ξεπερνάει κατά 5cm μήκος το επιτρεπτό όριο αντικειμένων. Σκέφτεται λοιπόν για μια στιγμή ο παίκτης και παρακαλάει την αεροσυνοδό να περιμένει λίγο μέχρι να ξαναγυρίσει. Πράγματι, επιστρέφει μετά από λίγο ο παίκτης και καταφέρνει να περάσει και τη στέκα του στο αεροπλάνο.

Πως κατάφερε να περάσει τη στέκα μέσα στο αεροπλάνο;

Σημείωση. Η στέκα του δεν σπάει, ούτε ξεβιδώνει και σε καμία περίπτωση δε θα την έκοβε αφού είναι η αγαπημένη του στέκα.

 Επίπεδο δυσκολίας 1/5

Για τυχόν διευκρινίσεις, hints ή και για να επιβεβαιώσετε τη δική σας λύση στο πρόβλημα  

επικοινωνήστε μαζί μας με email στο thepythagoreans@gmail.com ή συμπληρώσετε την φόρμα επικοινωνίας εδώ

Λύση στο Αίνιγμα #7 -Το σπίτι στο λόφο

Το Αίνιγμα

Στην κορυφή ενός λόφου βρίσκεται ένα μικρό σπίτι. Το σπίτι αυτό έχει μόνο έναν χώρο- ένα δωμάτιο, είναι χαμηλοτάβανο και είναι άδειο- το μόνο που θα βρεις μέσα είναι μια λάμπα. Επιπρόσθετα το σπίτι δεν έχει κανένα παράθυρο. Είναι κλειστό από όλες τις πλευρές με τοίχο. Η μόνη είσοδος του είναι μια πόρτα, η οποία είναι τέλεια σφραγισμένη γύρω γύρω όταν είναι κλειστή. Έξω από το σπίτι και δίπλα στην πόρτα υπάρχουν τρεις διακόπτες. Μόνο ο ένας λειτουργεί όμως για την λάμπα μέσα στο σπίτι.

Βρίσκεσαι έξω από το σπίτι και η πόρτα είναι κλειστή. Ποιος είναι ο σωστός διακόπτης?

Σημείωση. Μπορείτε να πατήσετε όσες φορές, όποιους διακόπτες θέλετε μέχρι τη στιγμή που θα αποφασίσετε να ανοίξετε την πόρτα. Αν ανοίξετε όμως την πόρτα τότε δεν μπορείτε να πατήσετε ξανά κανέναν διακόπτη.

H Λύση 

Έστω Α, Β, Γ οι τρεις διακόπτες. Θα πατήσουμε τον διακόπτη Α για λίγη ώρα και μετά θα τον κλείσουμε. Στη συνέχεια θα πατήσουμε τον διακόπτη Β και θα ανοίξουμε την πόρτα. Αν το φως είναι αναμμένο τότε ο διακόπτης Β είναι ο σωστός. Αν το φως είναι κλειστό θα πιάσουμε τη λάμπα(αφού το σπίτι είναι χαμηλοτάβανο και γνωρίζουμε ότι φτάνουμε). Αν η λάμπα είναι ζεστή τότε ο σωστός διακόπτης είναι ο Α, διαφορετικά είναι ο Γ.

Τα 'Αλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας

1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, να κατασκευεί με χάρακα και διαβήτη τετράγωνο εμβαδού ίσο με το εμβαδόν δοθέντος κύκλου.

2. Ο διπλασιασμός του κύβου, να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη κύβος όγκου διπλάσιου του όγκου δοθέντος κύκλου.

3. Η τριχοτόμηση γωνίας, να χωριστεί με χάρακα και διαβήτη δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη.

Τα προβλήματα αυτά απασχόλησαν σχεδόν όλους τους γεωμέτρες της αρχαιότητας και έγιναν ευρέως γνωστά, όπως φαίνεται από την αναφορά τους, ήδη από τον 5ο αιώνα π.Χ. σε τουλάχιστον δύο θεατρικά έργα της εποχής. Ο Ευρυπίδης(485-407 π.Χ.) αναφέρει το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου και ο Αριστοφάνης(452-385 π.Χ.) το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.

Τι σημαίνει κατασκευή με χάρακα και διαβήτη?
Γεωμετρικά σημαίνει ότι στη λύση επιτρέπεται η χρήση μόνο ευθειών και κύκλων. Οι Αρχαίοι Έλληνες έλυσαν όλα τα παραπάνω προβλήματα χωρίς όμως τον περιορισμό η κατασκευή να γίνει με χάρακα και διαβήτη, δηλαδή εκτός από ευθείες και κύκλους στη λύση χρησιμοποίησαν και άλλες καμπύλες. Από τότε που τέθηκαν τα παραπάνω προβλήματα πέρασαν περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια ώσπου οι μαθηματικοί να καταφέρουν να αποδείξουν ότι τα προβλήματα αυτά δεν λύνονται μόνο με χάρακα και διαβήτη. Οι αποδείξεις στηρίχτηκαν στην ανάπτυξη της Αναλυτικής Γεωμετρίας και της Άλγεβρας. Συγκεκριμένα, η απόδειξη της αδυναμίας λύσης με χάρακα και διαβήτη του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου δόθηκε από τον Lindemann το 1882, του διπλασιασμού του κύβου από τον Mobius το 1829 και της τριχοτόμησης της γωνίας από τον Wantzel το 1837.

 1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου

Ο τετραγωνισμός του κύκλου, δηλαδή η εύρεση του εμβαδού του κύκλου απασχόλησε τους μαθηματικούς από την εποχή των Αιγυπτίων και Βαβυλωνίων, Πολλοί είναι οι Έλληνες μαθηματικοί που ασχολήθηκαν με τέτοια προβλήματα και που σε αρκετές περιπτώσεις τα έλυσαν. Μερικοί από αυτούς είναι Αναξαγόρας από τις Κλαζομενές(499-428 π.Χ.), Ιπποκράτης ο Χίος, Αντιφών ο Βρύσωνας(5ος αιώνας π.Χ.), Δεινόστρατος(4ος αιώνας π.Χ.) που χρησιμοποίησε την τετραγωνίζουσα(μια μη αλγεβρική καμπύλη) για να τετραγωνίσει τον κύκλο και Αρχιμήδης(287-212 π.Χ.). Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε την επίπεδο έλικα για να τετραγωνίσει τον κύκλο. Επίσης με την μέθοδο Εξάντλησης του Ευδόξου ο Αρχιμήδης χρησιμοποιώντας εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα σε κύκλο, απέδειξε ότι το εμβαδόν ενός κύκλου ισούται με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου που η μία κάθετη πλευρά είναι ίση με την ακτίνα και η άλλη με την περιφέρεια του κύκλου. Με το θεώρημα αυτό ο τετραγωνισμός του κύκλου ανάγεται στην προσπάθεια να βρεθεί ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς την διάμετρο, που σήμερα συμβολίζεται με το π. Ο στόχος του βιβλίου του Αρχιμήδη Κύκλου Μέτρησις είναι να υπολογίσει αυτόν το λόγο χρησιμοποιώντας εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα σε κύκλο. Η μέθοδος αυτή του Αρχιμήδη χρησιμοποιήθηκε αργότερα από Άραβες, Ινδούς και Ευρωπαίους μαθηματικούς για τον υπολογισμό του π με συνεχώς μεγαλύτερη ακρίβεια, χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα με όλο και περισσότερες πλευρές.

2. Ο διπλασιασμός του κύβου

Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό και σαν Δήλιο πρόβλημα, από τον χρησμό που δόθηκε στους κατοίκους της Δήλου ότι οι ταλαιπωρίες τους θα σταματούσαν αν διπλασίαζαν τον κυβικό βωμό του Απόλλωνα που βρισκόταν στη Δήλο. Οι Δήλιοι ζήτησαν τη βοήθεια του Πλάτωνα όταν πέρασε από το νησί τους. Ο Πλάτωνας τους εξήγησε ότι ο Θεός με τον χρησμό αυτό ειρωνεύεται τους Έλληνες επειδή παραμελούν την παιδεία και τους ζητάει να μελετήσουν πιο συστηματικά τη Γεωμετρία. Ο Πλάτωνας παρέπεμψε τους Δήλιους στους μαθηματικούς Εύδοξο τον Κνίδιο και Ελίκωνα τον Κιζυκινό, που ξέρουν πως να λύσουν το συγκεκριμένο πρόβλημα. Τόνισε όμως ότι ο Θεός δεν ζητάει να λύσουν τον πρόβλημα, αλλά με τον χρησμό προστάζει τους Έλληνες να σταματήσουν τον πόλεμο και να ασχοληθούν με τις Μούσες(Επιστήμες), να καταπραΰνουν τα πάθη τους και με τη Φιλοσοφία και τα Μαθηματικά να βελτιώσουν τις σχέσεις τους.

Το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου είναι ουσιαστικά η κατασκευή της κυβικής ρίζας του 2. Ο πρώτος που είχε ουσιαστική συμβολή στη λύση του διπλασιασμού του κύβου ήταν ο Ιπποκράτης ο Χίος που το 430 π.Χ. περίπου, μετασχημάτισε το πρόβλημα, στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων σε δύο δοθέντα μεγέθη. Όλοι οι μαθηματικοί που έδωσαν λύσεις στηρίχτηκαν στην παρατήρηση του Ιπποκράτη. Η πρώτη λύση δόθηκε από τον Αρχύτα(430-365 π.Χ.) που χρησιμοποίησε έναν κύλινδρο εκ περιστροφής, έναν κώνο εκ περιστροφής και έναν τόρο. Ο Εύδοξος ο Κνίδιος(408-355 π.Χ.) χρησιμοποίησε για τη λύση μια αλγεβρική καμπύλη τετάρτου βαθμού που είναι γνωστή σαν Καμπύλη του Ευδόξου. Ο Μέναιχμος χρησιμοποίησε ζεύγος κωνικών τομών για να διπλασιάσει τον κύβο: ή δύο παραβολές ή μια παραβολή και μια υπερβολή. Ο Πλάτωνας και ο Ερατοσθένης έδωσαν μηχανικές λύσεις. Ο Νικομήδης έδωσε λύση με την κογχοειδή του, μια αλγεβρική καμπύλη τετάρτου βαθμού, ο Απολλώνιος από την Πέργη(270-186 π.Χ.) χρησιμοποιώντας έναν κύκλο και μια υπερβολή και ο Διοκλής με την κισσοειδή του καμπύλη, μια αλγεβρική καμπύλη τρίτου βαθμού.      

3. Η τριχοτόμηση γωνίας.

Το πρόβλημα της της τριχοτόμησης γωνίας ζητά να χωριστεί δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη. Και σε αυτό το πρόβλημα δόθηκαν πολλές λύσεις από διάφορους μαθηματικούς που χρησιμοποιούσαν πάντοτε και άλλες καμπύλες εκτός από ευθείες και και κύκλους. Ο Ιππίας χρησιμοποίησε μια μη αλγεβρική καμπύλη την οποία χρησιμοποίησε και ο Δεινόστρατος για να λύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Ο Αρχιμήδης έδωσε δύο κύσεις, η πρώτη χρησιμοποίησε μια τεταρτοβάθμια καμπύλη και η δεύτερη μια μη αλγεβρική καμπύλη, την επίπεδη έλικα. Ο Νικομήδης τριχοτόμησε την γωνία με την κογχοειδή καμπύλη με την οποία έλυσε και τον διπλασιασμό του κύκλου.

ΑΙΝΙΓΜΑ- Το κόλπο με την τράπουλα

Δύο φοιτητές ο Α και ο Β παρουσιάζουν το εξής κόλπο σε έναν φίλο τους, τον Γ: 

Ο Β βγαίνει από το δωμάτιο και ο Γ επιλέγει 5 φύλλα από μια κανονική τράπουλα 52 φύλλων. Δίνει τα φύλλα που επέλεξε στον Α και αυτός αφού τα δει, αφαιρεί ένα από αυτά, το οποίο δίνει πίσω στον Γ. Στη συνέχεια ο Β επιστρέφει στο δωμάτιο και ο Α του ανακοινώνει τα 4 φύλλα που του έμειναν(πρώτα τον αριθμό και μετά το χρώμα/σύμβολο), χωρίς να του τα δείξει. Τότε ο Β με ελάχιστη σκέψη καταφέρνει να βρει το 5ο φύλλο που εξαίρεσε ο Α(αριθμό και χρώμα/σύμβολο).

Ποιό ήταν το κόλπο των δύο φοιτητών?

Σημείωση. Το κόλπο των φοιτητών ισχύει για οποιαδήποτε 5άδα φύλλων.

Επίπεδο δυσκολίας 5/5

Για τυχόν διευκρινίσεις, hints ή και για να επιβεβαιώσετε τη δική σας λύση στο πρόβλημα  

επικοινωνήστε μαζί μας με email στο thepythagoreans@gmail.com ή συμπληρώστε την φόρμα επικοινωνίας εδώ

πηγή: 

http://pantsik.blogspot.com/

Ο μηχανισμός των Αντικυθήρων φτιαγμένος με LEGO

H εικασία του Collatz

Γνωστή και ως "εικασία του Ulam", "πρόβλημα του 3n+1", "πρόβλημα του Kakutani", "εικασία του Thwaites",  "εικασία του Hasse" ή και "πρόβλημα των Συρακουσών". Και αυτό γιατί ασχολήθηκαν πάρα πολλοι μαθηματικοί και όχι μόνο με το συγκεκριμένο πρόβλημα. 

Διαλέξτε στην τύχη έναν οποιονδήποτε φυσικό αριθμό n. 

Αν n άρτιος, τότε διαιρέστε τον με το 2.

Αν n περιττός, πολλαπλασιάστε τον με το 3 και προσθέστε 1.

Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία για τον αριθμό που προκύπτει.

Η εικασία λέει πως ο αριθμός στον οποίο θα καταλήξετε θα είναι πάντα το 1. 

Για παράδειγμα ας πάρουμε τον αριθμο.. 73. Είναι περιττός οπότε πολλαπλασιάζουμε με το 3 και προσθέτουμε το 1 =220. Είναι άρτιος οπότε διαιρούμε με το 2 =110. Και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο. 110->55->166->83->250->125->376->188->94->47->142->71->214->107->322->161->484->242->121->364->182->91->274->137->412->206->103->310->155->466->233->700->350->175->526->263->790->395->1186->593->1780->890->445->1336->668->334->167->502->251->754->377->1132->566->283->850->425->1276->638->319->958->479->1438->719->2158->1079->3238->1619->4858->2429->7288->3644->1822->911->2734->1367->4102->2051->6154->3077->9232->4616->2308->1154->577->1732->866->433->1300->650->325->976->488->244->122->61->184->92->46->23->70->35->106->53->160->80->40->20->10->5->16->8->4->2->1

Από το 1937 όπου ο Lothar  Collatz πρωτοδιατύπωσε το πρόβλημα, παραμένει άλυτο- όσο απλό και αν φαίνεται στη διατύπωση του. 

Τι ήταν αυτό που είδε ο Paul Erdos στο πρόβλημα, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, όταν είπε πως τα μαθηματικά δεν είναι έτοιμα να αντιμετωπίσουν ένα τέτοιο πρόβλημα.. και πρόσφερε 500 δολάρια σε όποιον το έλυνε.

Το 2006, οι ερευνητές Kurtz και Simon, βασιζόμενοι πάνω σε δουλειά του Conway, έδειξαν πως δεν επιδέχεται απόδειξη καθώς δεν μπορεί να βρεθεί αλγόριθμος που να την εκφράζει, αλλά η γενικευμένη απόδειξη τους δεν μπορεί να θεωρηθεί πως απευθύνεται στην αρχική εικασία του Collatz.