H εικασία του Goldbach

watermelon.org©

Επειδή μου ζητήθηκε να αναρτήσω την υπόθεση του Riemann, που είναι ένα αρκετά περίπλοκο πρόβλημα για να κατανοήσει κανείς, ανάρτησα ένα άλλο γνωστό πρόβλημα-την εικασία του Goldbach. Δεν περιλαμβάνεται στα επτά προβλήματα του Ινστιτούτου του Clay(Millenium Prize Problems) που,  αλλά έχει και αυτό μεγάλο ενδιαφέρον. Η εικασία του Goldbach, όπως και η υπόθεση του Riemann, ασχολείται με τους πρώτους αριθμούς. Μόνο που η εικασία του Goldbach μοιάζει με ένα απλό πρόβλημα μαθηματικών, με το οποίο μάλιστα έχουν ασχοληθεί και αρκετοί ερασιτέχνες μαθηματικοί.

Στις 7 Ιουνίου το 1742, ο μαθηματικός Christian Goldbach έστειλε μία επιστολή στον Leonard Euler στην οποία έκανε για πρώτη φορά αναφορά στην εξής εικασία:

• Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 2 που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων, μπορεί και να γραφεί επίσης ως άθροισμα όσων πρώτων επιθυμούμε (θεωρούσε τότε και το 1 πρώτο αριθμό), μέχρι όλοι οι όροι να είναι ίσοι με τη μονάδα.
• Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Ο Euler απάντησε με μία ισοδύναμη εκδοχή της εικασίας:

Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων,

προσθέτοντας ότι το δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να το αποδείξει. Αυτή η προγενέστερη εικασία είναι σήμερα γνωστή ως “τριαδική” εικασία του Γκόλντμπαχ, ενώ η μεταγενέστερη ως “ισχυρή” ή “δυαδική” εικασία του Γκόλνμπαχ.

Αυτό είναι και μέχρι σήμερα ένα από τα παλιότερα ανοιχτά προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών.

Όπως και σε πολλές άλλες εικασίες των μαθηματικών, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός διαδεδομένων λύσεων της, χωρίς όμως καμία μέχρι και σήμερα να είναι δεκτή από την μαθηματική κοινότητα. Μάλιστα ο εκδοτικός οίκος "Faber and Faber" προσέφερε το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον την αποδείκνυε ανάμεσα στις 10 Μαρτίου το 2000 και 20 Μαρτίου του 2002, αλλά κανείς δεν τα κατάφερε και έτσι η εικασία παραμένει ακόμα και μέχρι σήμερα ανοιχτή.

Η Εικασία του Goldbach

Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n≧2, 2n=p+q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.

Για παράδειγμα, 4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7 κ.τ.λ.