Λύση στο Αίνιγμα #13 -Challenge Accepted

Το Αίνιγμα

Ένας καθηγητής σε τμήμα των μαθηματικών έβαλε την παρακάτω πρόκληση στους 30 φοιτητές του. Τους είπε πως θα τους ζητήσει να σταθούν όλοι σε μία σειρά, ο ένας πίσω από τον άλλον, θα κλείσουν όλοι τα μάτια και θα φορέσει στον καθέναν από ένα καπέλο, του οποίου το χρώμα θα είναι πορτοκαλί ή μαύρο. Στη συνέχεια θα ανοίξουν τα μάτια τους και θα ρωτήσει τον καθένα τους με τη σειρά, ξεκινώντας από τον τελευταίο στην ουρά, τι χρώμα καπέλο φοράει. Οι φοιτητές θα τοποθετηθούν στη σειρά με τρόπο ώστε ο καθένας να μπορεί να βλέπει όλα τα καπέλα των μπροστινών του, αλλά όχι το δικό του ή τα καπέλα των από πίσω. Μόλις τελειώσει η διαδικασία τότε θα ανακοινώσει και τα αποτελέσματα.

Αν τουλάχιστον οι 29 από τους 30 φοιτητές καταφέρουν να δώσουν τη σωστή απάντηση, θα περάσουν όλοι το μάθημα. Για το σκοπό αυτό τους πρότεινε πριν ξεκινήσει η δοκιμασία να συνεργαστούν.
Οι φοιτητές συσκέφθηκαν μεταξύ τους και βρήκαν τον τρόπο, χωρίς να κλέψουν, να αντεπεξέλθουν στην πρόκληση του καθηγητή. Πως τα κατάφεραν;

Σημείωση. Ο κάθε φοιτητής απαντάει στην ερώτηση του καθηγητή τι χρώμα καπέλο φοράει, με τις λέξεις «πορτοκαλί» ή «μαύρο». Απαγορεύεται να πει οτιδήποτε άλλο, να χρωματίσει τη φωνή του ή να μετακινηθεί, δηλαδή να κάνει οποιοδήποτε είδους σύνθημα.

H Λύση

Στη σύσκεψη τους οι φοιτητές αποφάσισαν πως ο τελευταίος στη σειρά φοιτητής θα κάνει το εξής:

 θα πει πως φοράει μάυρο καπέλο στην περίπτωση που τα μαύρα καπέλα είναι σε πλήθος περιττός αριθμός, και πορτοκαλί στην περίπτωση που είναι άρτιος αριθμός. 

Έτσι αν για παράδειγμα βλέπει πως το πλήθος των μαύρων καπέλων είναι περιττός αριθμός θα απαντήσει "μαύρο".  Οι πιθανότητες να βρεί το χρώμα του δικού του καπέλου είναι 50-50.

Ο προτελευταίος όμως φοιτητής θα μπορεί να βρει εύκολα το χρώμα του δικού του καπέλου. Αν δει πως το πλήθος των μαυρων καπελων που βλεπει συνεχίζει να ειναι περιττός τότε γνωρίζει πως φοράει πορτοκαλί καπέλο, ενώ σε αντίθετη περίπτωση αν μετρήσει άρτιο αριθμό μαύρων καπέλων τότε φοράει μάυρο χρώμα καπέλου. 

Οι υπόλοιποι παίκτες γνωρίζοντας τι λογική και τις απαντήσεις των υπολοίπων παικτών μπορούν να βρουν εύκολα και το δικό τους καπέλο.